jueves, 7 de agosto de 2014

ACTIVIDAD 4 CALCULO

LIMITES Y DERIVADAS


Notaciones para la derivada.

Historia:Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
  • El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
  • El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.
 En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable. La derivada de un concepto local se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la funcion en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño.
 El valor de la derivada de una funcion en un punto puede interpretarse geometricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la funcion en dicho punto.
 Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una funcion, se escribe f respecto al valor x en varios modos:
  • f'(x) \,  {Notacion de Langrange}
se lee <<efe prima de equis>>
  • \mathrm D_x f \, o \partial_x f\, { Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}
se lee <<d sub x de f>> y los símbolos Dy d deben entenderse como operadores.
  • \dot{x} { Notacion de Newton}
se lee <<punto x>> o << x punto>>. Actualmente en desuso en Matemáticas puras, pero aun se usa en las áreas de física.
  • \frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}, \frac {\mathrm df}{\mathrm dx} ó \frac {\mathrm d}{\mathrm dx} f(x) {Notación de Leibniz}
se lee «derivada de y\, (f\, ó f\, de x\,) con respecto a x\,». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f\, en el punto a, se escribe:
f^\prime(a) para la primera derivada,
f^{\prime\prime}(a) para la segunda derivada,
f^{\prime\prime\prime}(a) para la tercera derivada,
f^{(n)}(a)\, para la enésima derivada (n > 3). (También se pueden usar números romanos).
Para la función derivada de f\, en x\,, se escribe f^\prime(x)\,. De modo parecido, para la segunda derivada de f\, en x\,, se escribe f^{\prime\prime}(x)\,, y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de f\,, se escribe:
\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}.
Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:
\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\right)(a).
Si y=f(x)\,, se puede escribir la derivada como
\mathrm dy \over \mathrm dx
Las derivadas sucesivas se expresan como
\frac{\mathrm d^n\left(f(x)\right)}{\mathrm dx^n} o \frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}
para la enésima derivada de f\, o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es
\frac{\mathrm d \left(\frac{\mathrm d \left( \frac{\mathrm d \left(f(x)\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}
la cual se puede escribir como
\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{\mathrm d^3}{\left(\mathrm dx\right)^3} \left(f(x)\right).
La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen cancelarse simbólicamente:
\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm du} \cdot \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}.
En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.
La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:
\dot{x} = \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = x^\prime(t)
\ddot{x} = x^{\prime\prime}(t)
y así sucesivamente.
Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.
Conclusión:
El uso de la notación para derivadas en cálculo es diferente al que se utiliza en física, debido a las confusiones que pueden llegar a generar, pero conocer sus diferencias o, más precisamente, donde se usa cual fácilita las cosas.

TANGENTE NORMAL Y EN CURVA.





Definición de limite en la interpretación de la derivad asociada a velocidad y aceleración:


Considérese un movimiento rectilíneo de una partícula. A cada valor del tiempo “t”  corresponde a un cierto desplazamiento “s” de la partícula; luego la distancia recorrida es función del tiempo, es decir que:  S=F(T)
Si “t”  experimenta un incremento “AT” , la variable “S” también experimentara su correspondiente incremento “ AS”  y el cociente AS  es la razón de variación de “s”
                                                                                        AT
Con respecto a “t”  como es distancia sobre tiempo, se le llama rapidez de variación y equivale al módulo de la velocidad media de la partícula. Así,
AS  =  V (medio)
AT
Con la aceleración, esto es, el cambio de la velocidad en la unidad de tiempo, también es posible aplicar estos conceptos y se obtendrían la aceleración media y la aceleración instantánea:
AV =  a (media)
AT
            A=  lim   AV =  dv = d2s

                  AT->0    AT      dt      dt2






















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